森の奥にある小さなプログラミング研究所で、シマリスのちくわ君は今日も画面に向かってコードを書いていた。彼の机の上には赤い木の実がちょこんと置かれており、時々つまみながら作業を続けている。
「ちくわさん、おはようございます！」元気な声とともに、友達のリスであるはんぺん君が研究所に飛び込んできた。
「おはよう、はんぺん君。今日も元気だね」ちくわ君は優しく微笑みながら振り返った。「今日は何か質問があるのかな？」
「実は、昨日プログラミングの勉強をしていたら『微分』って言葉が出てきたんです。でも全然わからなくて...」はんぺん君は困った顔をしながら言った。「ちくわさんなら詳しいかなって思って」
ちくわ君は木の実を一つ口に放り込んでから、ゆっくりと説明を始めた。「微分か。確かにプログラミングでも機械学習や最適化問題でよく使うからね。まずは基本から説明してみよう」
「微分っていうのは、簡単に言うと『変化の速さ』を調べることなんだ。例えば、君が坂道を走っているとしよう。急な坂では速度が大きく変わるし、なだらかな坂では少しずつ変わる。その『変わり具合』を数学的に表現したものが微分だよ」
はんぺん君は目を輝かせた。「なるほど！でも、それがプログラミングとどう関係するんですか？」
「いい質問だね」ちくわ君は研究所の壁に掛かっているホワイトボードに向かった。「例えば、ゲームでキャラクターがジャンプするとき、重力の影響で速度が変わるよね。その速度の変化を計算するのに微分を使うんだ」
ホワイトボードに y = x² という式を書きながら、ちくわ君は続けた。「この式があったとしよう。xが1から2に変わったとき、yはどのくらい変わるかな？」
「えーっと...」はんぺん君は一生懸命計算した。「x=1のときy=1、x=2のときy=4だから、3変わります！」
「正解！でも微分で知りたいのは、その瞬間瞬間での変化の速さなんだ。x=1の瞬間に、どのくらい急激に変わっているか、っていうことだね」
ちくわ君は dy/dx = 2x という式をボードに書いた。「これが y = x² の微分だ。x=1のところでは、変化の速さは2×1=2になる。x=2のところでは2×2=4になる」
「わあ、数字が出てきた！」はんぺん君は嬉しそうに手を叩いた。「でも、どうやってその式を導くんですか？」
「それは極限という考え方を使うんだ」ちくわ君は赤い木の実を一つ取って、手のひらの上で転がしながら説明した。「変化量をどんどん小さくしていって、最終的に限りなく小さくしたときの変化率が微分なんだ」
「でも正直に言うと、プログラミングをする上では、公式を覚えて使えることの方が大切かもしれないね。例えば、機械学習では損失関数の微分を計算して、パラメータを最適化するんだ」
はんぺん君は首をかしげた。「損失関数って何ですか？」
「AIがどのくらい間違えているかを表す関数だよ。その間違いを最小にするために、微分を使って一番良いパラメータを見つけるんだ。まるで山登りで一番高い山頂を見つけるために、どちらの方向に進めばいいかを微分で教えてもらうような感じかな」
「今度は積分について聞きたいです！」はんぺん君は興味津々で尻尾をふりふりした。
ちくわ君は微笑んだ。「積分は微分の逆の操作だよ。微分が『変化の速さ』を求めるなら、積分は『全体の変化量』を求めることなんだ」
ボードに面積のある図形を描きながら、ちくわ君は続けた。「例えば、この曲線と x軸に囲まれた部分の面積を求めたいとしよう。積分を使えば、その面積を正確に計算できるんだ」
「プログラミングでは、例えばゲームでキャラクターが移動した総距離を計算したり、物理シミュレーションで物体の位置を求めたりするときに積分を使うよ」
はんぺん君は目をキラキラさせながら聞いていた。「すごいです！数学がこんなにプログラミングと関係があるなんて知りませんでした」
「そうなんだ。実は、コンピューターグラフィックスでも微分積分は欠かせないんだよ」ちくわ君は新しい木の実を手に取った。「3Dモデルの表面を滑らかに表現したり、光の反射を計算したりするときに使うからね」
「じゃあ、ちくわさんが普段書いているプログラムにも微分積分が使われているんですか？」
「もちろん！特に最近は機械学習のライブラリを使うことが多いから、裏側では微分の計算がたくさん行われているよ。でも、ライブラリが自動で計算してくれるから、僕たちは細かい計算を意識しなくても大丈夫なんだ」
「それは便利ですね！でも、基本を理解しておくことは大切なんですね」はんぺん君は納得したようにうなずいた。
「その通り！基本を理解していると、なぜそのライブラリを使うのか、どんな問題に適用できるのかがよくわかるようになるからね」ちくわ君は優しく説明した。
「実際に簡単な例で練習してみようか」ちくわ君はホワイトボードを消して、新しい問題を書いた。「速度が v(t) = 3t² で表されるとき、時刻0から時刻2までの移動距離を求めてみよう」
はんぺん君は一生懸命考えた。「えーっと、積分を使うんですよね？」
「そう！速度を積分すると距離になるんだ。3t²を積分すると t³ になって、0から2まで計算すると...」
「8になります！」はんぺん君は嬉しそうに答えた。
「正解！よくできたね」ちくわ君は嬉しそうに木の実を一つ はんぺん君に差し出した。「君も赤い木の実を食べる？」
「ありがとうございます！」はんぺん君は木の実を受け取って、嬉しそうに頬張った。「微分積分って最初は難しそうだと思ったけど、ちくわさんの説明だとすごくわかりやすいです」
「数学は最初は抽象的に見えるかもしれないけど、実際の問題と結びつけて考えると理解しやすくなるんだ。プログラミングも同じで、実際に作りたいものがあると学習が進むよね」
日が傾き始めた頃、はんぺん君は満足そうに立ち上がった。「今日は本当にありがとうございました！家に帰って、微分積分を使った簡単なプログラムを書いてみます」
「それは素晴らしいアイデアだね。何か困ったことがあったら、いつでも聞きに来てよ」ちくわ君は温かい笑顔で見送った。
はんぺん君が帰った後、ちくわ君は夕日を眺めながら思った。数学とプログラミングの美しい関係を、若い世代に伝えられて本当に良かった。そして机に向かい直すと、また新しいコードを書き始めた。今度は微分方程式を数値的に解くライブラリの開発に取り掛かろうと思っていた。
森の研究所には、今日も学びと発見の喜びが満ちていた。